¿De cuantas maneras se pueden distribuir 8 dulces del mismo sabor en 5 bolsas, de manera que ninguna bolsa quede vacía??

Para resolver este problema se puede utilizar el principio de inclusión-exclusión. Primero, distribuimos los 8 dulces en las 5 bolsas sin restricciones, lo que nos da $5^8$ formas

Consulta:

¿De cuantas maneras se pueden distribuir 8 dulces del mismo sabor en 5 bolsas, de manera que ninguna bolsa quede vacía??

Respuesta:

Para resolver este problema se puede utilizar el principio de inclusión-exclusión. Primero, distribuimos los 8 dulces en las 5 bolsas sin restricciones, lo que nos da $5^8$ formas posibles. Sin embargo, algunas de estas formas incluyen bolsas vacías, lo cual no está permitido.

Para contar las formas en que al menos una bolsa está vacía, utilizamos el principio de inclusión-exclusión. Hay 5 formas de que una bolsa esté vacía, y hay ${5\choose 1}$ formas de elegir cuál de las 5 bolsas quedará vacía. Para cada elección de bolsa, hay $4^8$ formas posibles de distribuir los dulces restantes en las 4 bolsas restantes. Entonces, el número de formas en que al menos una bolsa está vacía es ${5\choose 1}4^8$.

Sin embargo, hemos contado dos veces las formas en que dos bolsas quedan vacías. Hay ${5\choose 2}$ formas de elegir cuáles de las 5 bolsas quedarán vacías. Para cada elección de bolsas, hay $3^8$ formas posibles de distribuir los dulces restantes en las 3 bolsas restantes. Entonces, el número de formas en que al menos dos bolsas están vacías es ${5\choose 2}3^8$.

Finalmente, hemos contado tres veces las formas en que tres bolsas quedan vacías. Hay ${5\choose 3}$ formas de elegir cuáles de las 5 bolsas quedarán vacías. Para cada elección de bolsas, hay $2^8$ formas posibles de distribuir los dulces restantes en las 2 bolsas restantes. Entonces, el número de formas en que al menos tres bolsas están vacías es ${5\choose 3}2^8$.

Entonces, el número total de formas posibles de distribuir 8 dulces en 5 bolsas sin que ninguna bolsa quede vacía es:

$$5^8 - {5\choose 1}4^8 + {5\choose 2}3^8 - {5\choose 3}2^8 = 22275$$

Por lo tanto, hay 22275 formas posibles de distribuir los dulces en las 5 bolsas sin que ninguna bolsa quede vacía.